En mathématiques, les équations sont au cœur de tous les programmes. Pour autant, la résolution d’équation figure parmi les difficultés majeures rencontrées par les élèves au cours de leur scolarité. Ce blog-post est là pour vous aider à dépasser ces difficultés, et réussir à maîtriser la résolution d’équation, du premier au second degré !

Qu’est ce qu’une équation ?

Avant toute chose il est nécessaire de bien savoir ce qu’est une équation et à quoi elle correspond :

    \begin{align*}\textbf{4$x$ - 3 = 7 - $x$}\end{align*}

Définition :

Une équation est une égalité qui n’est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou les inconnues.

La résolution d’équation correspond alors à la recherche de ces valeurs, et plusieurs réponses peuvent être données :

  • Il n’existe pas de solution
  • Il existe un nombre fini de solution
  • Il existe une infinité de solution

La majorité des exemples rencontrés se concentre sur un nombre fini de solution en particulier une solution unique pour les équations du premier degré, et deux solutions distinctes pour les équations du second.

Dans le jargon des équations, on appelle “membre de gauche” la partie à gauche du signe égal et par conséquent “membre de droite” pour la partie à droite du signe égal.

De plus, le degré d’une équation correspond à la puissance maximale que prend l’inconnue dans l’équation. Si le terme de plus haut degré est x^2, alors on parle d’équation du second degré. De manière générale, si le terme de plus haut degré est x^n alors on parle d’équation de degré n.

Appréhender la résolution d’équation

Afin de pouvoir résoudre une équation et enfin trouver ce fameux x , il faut avant tout comprendre ce qu’il est autorisé de faire lorsque l’on travaille avec des équations. Quelles opérations sont possibles, lesquelles ne le sont pas, etc..

Tout d’abord, comme nous l’avons vu dans la section précédente, l’équation traduit avant tout une égalité. De ce fait, pour que cette égalité ne soit pas modifiée, toute modification sur l’équation doit être symétrique par rapport au signe égal. Cela peut sembler compliqué mais c’est en réalité très simple, si vous réalisez une opération sur le membre de gauche, alors il est impératif de reproduire à l’identique cette opération sur le membre de droite.

Exemple :

    \begin{align*}\textbf{4$x$ - 3 = 7 - $x$}\end{align*}


Pour éliminer le -3 du membre de gauche, on peut additionner 3 de chaque coté du signe égal :

    \begin{align*}4x - 3 ~ \textcolor{red}{+~3} & = 7 - x ~ \textcolor{red}{+~3}\end{align*}


On a ainsi simplifié l’équation sous la forme 4x = 10 – x

La résolution d’équation s’effectue alors en répétant de telles opérations simplificatrices jusqu’à obtention de la valeur de x. Addition, soustraction, multiplication et division, tous ces outils sont bons pour vous aider à traiter les équations auxquelles vous êtes confrontés !

Attention cependant, prenez garde à la division par zéro, qui rend caduc tout raisonnement mathématique. Si diviser par zéro était correct on pourrait monter que 1 = 2 alors il semble en effet qu’il y ait un problème…

Résoudre une équation du premier degré

Maintenant que nous avons compris comment interagir avec les équations, comment peut-on concrètement les résoudre ? Dans un premier temps, concentrons nous sur les équations de premier degré, c’est à dire les équations dont la puissance de x ne dépasse pas 1. La méthode de résolution est simple, et se réalise en quatre étapes :

  • Isoler l’inconnue (1)
  • Simplifier les termes (2)
  • Diviser (3)
  • Conclure (4)

Pour appliquer cette méthode, reprenons l’exemple précédent :

Exemple :

    \begin{align*}\textbf{4$x$ - 3 = 7 - $x$}\end{align*}

Nous avons déjà commencé à isoler l’inconnue en déplaçant le 3, 4x = 10 – x , il ne reste donc plus qu’à rassembler les x. Pour cela, on peut additionner x de chaque côté : 

    \begin{align*}4x ~ \textcolor{red}{+~x} & = 10 - x ~ \textcolor{red}{+~x} \\\end{align*}


On a ainsi isolé l’équation sous la forme 4x + x = 10, c’est l’étape (1). L’étape (2) consiste à simplifier les deux membres, qui donne alors :

    \begin{align*}5x = 10\end{align*}


On divise alors ensuite par 5 afin d’obtenir x seul sur le membre de gauche, c’est l’étape (3) :

    \begin{align*}\frac{5x}{\textcolor{red}{5}} & = \frac {10}{\textcolor{red}{5}}\end{align*}


On en déduit finalement : x = 2 (4)

Avec l’expérience, certaines étapes ne sont pas obligatoirement à détailler, mais pour prendre en main la notion de résolution d’équation il est toujours intéressant d’écrire toutes les lignes de la démonstration pour intégrer le raisonnement logique.

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Résoudre une équation du second degré

La résolution des équations du second degré est bien plus délicate puisqu’il est souvent impossible d’isoler x à la manière des équations du premier degré, et ce à cause de la puissance 2 !

Pour la résolution des équations du second degré, il est donc nécessaire de mettre les équations sous la forme :

    \begin{align*}ax^2 + bx + c = 0\end{align*}

Cette équation, souvent appelée trinôme du second degré, puisque définit par le trinôme (a,b,c), se résout par une étude au préalable du discriminant, identifié par la lettre grecque delta (\Delta).

Définition :

Le discriminant (\Delta) s’obtient à partir de la formule :

    \begin{align*}\Delta = b^2 - 4ac\end{align*}

La détermination des solutions de l’équation dépend du résultat du calcul du discriminant :

Si \Delta > 0Si \Delta = 0Si \Delta < 0
Il existe deux solutions
réelles distinctes
Il existe une unique solution réelleIl existe deux solutions
complexes
x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x_0 = \frac{-b}{2a}z_{1/2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

La méthode de résolution se récapitule donc ainsi :

  • Mettre l’équation sous la forme d’un trinôme (1)
  • Calculer le discriminant (2)
  • Calculer la ou les solutions (3)
  • Conclure (4)

Un exemple pour mieux comprendre :

Exemple :

 

    \begin{align*}3x^2 - x - 2 = x^2 - 6x - 4\end{align*}

La première étape consiste à mettre sous la forme d’un trinôme

    \begin{align*}3x^2 - x^2 -x + 6x - 2 + 4 = 0 \end{align*}


En effectuant les opérations, on obtient ainsi le trinôme : 2x^2 + 5x +2 = 0

On peut donc identifier la valeur du trinôme :

    \begin{align*}(a,b,c) = (2,5,2)\end{align*}


La deuxième étape consiste alors à calculer le discriminant correspondant :

    \begin{align*}\Delta & = b^2 - 4ac \\& = 5^2 - 4 \times 2\times 2 \\& = 9 \end{align*}


On peut alors identifier la situation de deux solutions réelles distinctes puisque \Delta > 0, et donc calculer les solutions :

    \begin{align*}x_{1/2} & = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ & = \frac {-5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} \\& = \frac {-5 \pm 3}{4} \\\end{align*}


On en déduit alors finalement les deux solutions :

    \begin{align*}x_1 = -2 ~~~ et ~~~ x_2 = -1/2\end{align*}

De cette manière, vous êtes capable de faire face à tout trinôme du second degré en suivant cette méthode simple. En faisant bien attention au calcul du discriminant, on détermine rapidement la forme des solutions de l’équation et le calcul n’est pas bien plus difficile.

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